Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi. chiziqli algebraik tenglamalar bir hil tizimi

maktabda, har birimiz, albatta, tenglamalar tizimini tenglama o'rganib va. Emas, balki juda ko'p odamlar ularni hal qilish bir necha yo'llari bor, deb bilaman. Bugun biz ortiq ikki tenglamalar iborat chiziqli algebraik tenglamalar, bir tizim hal qilish uchun aniq, barcha usullarini ko'rib chiqamiz.

hikoya

Bugun biz tenglamalarni va ularning tizimlari hal san'ati Qadimgi Bobil va Misrda paydo bilamiz. Biroq, ularning tanish shaklida tenglik Ingliz matematik rekord tomonidan 1.556 joriy etildi teng belgisi "=", yuzaga keyin bizga ko'rindi. Aytgancha, bu belgi bir sababga ko'ra tanlangan edi: u ikki parallel teng qatlamlariga anglatadi. Albatta, tenglik eng yaxshi misol kelmaydi.

zamonaviy harflar asoschisi va noma'lum darajada ramzlari, frantsuz matematigi Fransua Vetnam. Biroq, uning ifoda bugungi sezilarli darajada farq qiladi. Misol uchun, bir noma'lum sonining kvadrat u xat Q (. Lot »quadratus"), va ko'p tomonidan tayinlangan - (. Lot »cubus") harfi C. Bu ramzlar endi noqulay tuyulishi, lekin keyin u chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yozish uchun eng intuitiv yo'l bo'ldi.

Biroq, hal hokim usullari bir ziyon matematiklari ijobiy ildizlari faqat muhokama qilgan edi. Ehtimol, bu salbiy qadriyatlar har qanday amaliy yo'q, deb aslida tufaylidir. Bir yo'l yoki boshqa, lekin birinchi salbiy ildizlari 16-asrda Italiya matematika Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano va Rafael Bombelli keyin boshlandi ko'rib kerak. A zamonaviy ko'rinish, hal asosiy usuli kvadrat tenglamalarni (diskriminant orqali) Dekart va Nyuton asarlarining orqali faqat 17-asrda tashkil etilgan.

18-asrda yashagan Shveytsariya matematigi o'rtasida Gabriel Cramer oson chiziqli tenglamalar sistemasi hal qilish uchun yangi bir yo'l topdi. Bu usul keyinchalik uning nomi berilgan, va bu kun biz uni foydalaning. Lekin bir oz keyinroq Kramer ning suhbat usuli, lekin hozir uchun, biz tizimi alohida chiziqli tenglamalar va ularning hal muhokama qiladi.

chiziqli tenglamalar

Chiziqli tenglamalar - o'zgarmaydigan (lar) bilan oddiy tenglama. Ular arifmetik tegishli. Chiziqli tenglamalar ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... va _n * x _n = b quyidagicha: umumiy shaklida yozilgan. Ushbu forma taqdim etish, biz tizimlari tayyorlashda kerak va matrisler bo'ladi.

chiziqli algebraik tenglamalar tizimi

Bu muddat ta'rifi: umumiy noma'lum va umumiy yechim bor tenglamalar to'plamidir. Odatda, maktabda barcha ikki yoki hatto uch tenglamalar bilan bir tizim hal. Lekin to'rt yoki undan ko'proq komponentlar bilan tizimlari bor. ning shunday qilib, keyin uni hal qilish uchun qulay edi, ularni yozib qanday birinchi ko'rib chiqaylik. shunday qilib, 1,2,3 va: barcha o'zgaruvchilar mos keladigan indeksi x sifatida yozilgan bo'lsa Birinchidan, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi yaxshi qarash qiladi. Ikkinchidan, u kanonik shaklda barcha tenglamalarni olib kelishi kerak: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... va _n * x _n = b.

Ushbu barcha bosqichlarida so'ng, biz qanday chiziqli tenglamalar sistemasi hal topish uchun senga aytib boshlaydi. Buning uchun juda ko'p qulay matritsasi keladi.

Matritsa

Matrix - qatorlar va ustunlar iborat bir stol va uning elementlari, ularning kesishmasida joylashgan. Bu ma'lum bir qiymat yoki o'zgaruvchilar ham bo'lishi mumkin. Ko'p hollarda, indisleri (masalan, bir ₁₁ yoki ₂₃ yaxshi) ostidan joylashtirilgan elementlar topmoq uchun. ustunini - birinchi indeks satr raqami, va ikkinchi ko'rsatadi. Yuqoridagi va boshqa har qanday matematik elementi sifatida yuqorida matrisleri turli operatsiyalarni bajarish mumkin. Shunday qilib, siz:

1) olib tashlang va stol shu hajmini qo'shing.

2) har qanday raqam yoki vektoriga uchun matriks Ayirish.

3) Transpose: ustunlar Matrix liniyalari o'zgartirmoq va ustunlar - chiziq.

qatorlar soni, ulardan biri ustunlar bir xil soni teng bo'lsa 4), matrisin Ayirish.

Ular kelajakda bizga foydali bo'ladi, deb, batafsil, bu metodlarni barcha muhokama qilish. Ajratish va matrikslerin qo'shish juda ham oson. biz bir xil hajmi matristen olib buyon, bir stol har element boshqa har element bilan bog'liq. Shunday qilib, biz (ayirsak) bu elementlar ikki (ularning matrislere Shu erga turgan muhim ahamiyatga ega) qo'shing. matritsasi yoki vektor soniga ko'paytiriladi qachon shunchaki soni (yoki vektor) tomonidan matritsaning har bir elementi ko'paytirib. O'tkazish - juda qiziqarli jarayon. bir jadval yoki telefon yo'nalishini o'zgartirib, masalan, real hayotda uni ko'rish uchun ba'zan juda qiziqarli. Ish stoli piktogramma, Matrix, va holatda bir o'zgarish bilan, u deb qilindi va keng bo'ladi, lekin balandligi kamayadi.

AQSh kabi bir jarayon ko'rib chiqamiz Matritsa ko'paytirish. Garchi u bizga aytib berdi, va foydali emas, lekin u hali ham foydali bo'ladi xabardor bo'lishi. Ko'paysin ikki matrisleri bir jadvalda ustunlar soni boshqa qatorlar soniga teng ekanligini faqat sharti bo'lishi mumkin. Endi bir Matrix liniyasi elementlar va tegishli ustun boshqa elementlarni olishi. Har bir keyin boshqa yig'indining ularni ko'paytirib (: a * b _{11 12} + * ₁₂ b va ₂₂ aytganda, masalan, _{elementlar, 11} va ₁₂ va ₁₂ b va ₂₂ b da bir mahsulot teng _bo'ladi). Shunday qilib, bitta stol element va unga o'xshash bir usul yanada to'ldiriladi.

Endi biz chiziqli tenglamalar tizimini echish uchun qanday o'ylab boshlash mumkin.

Gauss

Bu mavzu maktabda bo'lib o'tadi boshladi. Biz juda yaxshi ", ikki chiziqli tenglamalar tizimi" konsepsiyasini bilish va ularni hal qilish uchun qanday bilaman. Lekin tenglamalar soni ikki kattaroqdir nima bo'lsa? Bu bizga yordam beradi Gauss usuli.

Albatta, bu usul sizga tizimi matritsasi qilish bo'lsa, foydalanish qulay. Lekin siz uni aylantirish va o'z ustida qaror mumkin emas.

Shunday qilib, qanday chiziqli tenglamalar Gauss tizimi orqali buni hal qilish uchun? Aytgancha, hatto, bu usul-da, unga nomidagi, lekin qadimda uni kashf. Gauss oxir-oqibat eshelon shakliga butunligidan olib, tenglamalar bilan amalga oshiriladi operatsiya bor. Bu sizga noma'lum bir so'nib so'nggi tenglama birinchi kelgan top-pastga (to'g'ri joylashtirish bo'lsa) kerak, deb. Ikkinchi uch noma'lum, - - uchinchi ikki - biri birinchi: Boshqa so'zlar bilan aytganda, biz, uch Tenglama, biz bor ishonch hosil qilish kerak, xolos. So'ngra, oxirgi tenglama, biz birinchi noma'lum topish, ikkinchi yoki birinchi tenglamasi uning qiymatini o'rniga, va yana qolgan ikki o'zgaruvchilar topishga.

Cramer ning qoida

Bu usulning rivojlantirish uchun, matrislerden chetlatish, shuningdek teoremalar topish imkoniyatiga ega bo'lish uchun zarurligini tashqari ko'nikmalarini egallash muhim ahamiyatga ega. Agar bu barcha amaldagi noqulay yoki qanday bilmayman agar Shuning uchun, u o'rganish va tarbiyalangan bo'lishi kerak.

Bu usulning mohiyati nima va buni qanday qilib, chiziqli tenglamalar Cramer tizimini olish mumkin? Bu juda oddiy. Biz (deyarli har doim) chiziqli algebraik tenglamalar tizimini koeffitsiyentlarini raqamlar matritsasi qurish kerak. Buning uchun, shunchaki noma'lum sonini olib, va biz ular tizimida qayd etiladi, deb maqsadida bir stol tashkil. soni bir oyat oldin bo'lsa "-", keyin biz salbiy katsayısını yozish. Shunday qilib, biz (- koeffitsientli har notanish o'ng faqat bir qator, va chap bo'lsa tenglama kanonik shaklga tushgan bo'lishi kerak, deb, albatta) teng belgisi keyin soni, shu jumladan, balki, Unknowns darajalar koeffitsiyentlarini birinchi matrisini qildi. Keyin siz bir necha matritsalar qilish kerak - har bir o'zgaruvchining uchun bir. Shu maqsadda, birinchi matritsasi teng belgisi keyin bir ustun koeffitsientli har ustun raqamini almashinadi. Shunday qilib, biz bir necha matritsalar olish va keyin ularning teoremalar topish.

Biz saralash topildi keyin, u kichik ekan. Biz dastlabki matris ega va turli o'zgaruvchilar mos bir necha olingan matrisleri, bor. Agar Tizim hal olish uchun, biz stol asosiy Determinant haqida natijasida jadval asosiy ajratish. Olingan soni bir o'zgaruvchining qiymati hisoblanadi. Xuddi shunday, biz har noma'lum topish.

boshqa usullari

chiziqli tenglamalar sistemasi hal olish uchun bir necha usullari mavjud. Misol uchun, shuningdek, kvadrat tenglamalar tizimini hal topish uchun ishlatiladi, va bir deb atalmish Gauss-Jordan usuli, matrislerden foydalanish bilan bog'liq. chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echish uchun Jacobi usuli ham mavjud. U osonlik barcha kompyuterlar odatiga va hisoblash ishlatiladi.

murakkab holatlar

tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa murakkabligi, odatda, sodir bo'ladi. So'ngra, albatta, deb aytish mumkin, yoki tizimi (ya'ni, hech qanday ildizlarga ega) uzviy emas, yoki uning qarorlari soni cheksizlik istagi. Biz ikkinchi ishni bo'lsa - bu chiziqli tenglamalar tizimini umumiy yechim yozish kerak bo'ladi. Bu kamida bir o'zgaruvchini o'z ichiga oladi.

xulosa

Bu erda biz oxirigacha keladi. Ichiga uchun: biz tizimi Matrix, chiziqli tenglamalar tizimini umumiy yechim topish uchun o'rgandim tushunish kerak. Bundan tashqari, biz boshqa variantlarni ko'rib chiqildi. Gaussian bartaraf etish va: Biz chiziqli tenglamalar tizimini echish uchun qanday tushundim Cramer hukmronligi. Biz qiyin hollarda va yechimlarni topish, boshqa yo'llari haqida suhbatlashdi.

Aslida, bu masala ancha keng bo'lib, siz yaxshi, uni tushunish bo'lsangiz, biz sizga maxsus adabiyot batafsil o'qish uchun maslahat.