Tafovutlar - bu nima? Qanday funktsiyasi differentsial topish uchun?

sanab chiqing bilan birga ularning vazifalari farq - bu asosiy tushunchalar ba'zi differensial hisobning, ning asosiy bo'limda matematik analiz. biri bilan bevosita bog'liq bo'lib, ulardan har ikkala bir necha asrlar keng ilmiy va texnik faoliyati jarayonida turib deyarli barcha muammolarni hal ishlatiladigan.

differensial tushunchasi paydo

Birinchi marta u aniq shunday differentsial (Isaakom Nyutonom bilan birga) asoschilaridan biri differensial hisobi mashhur nemis matematigi Gotfrid Vilgelm Leybnits qildi. bu 17-asr matematiklari oldin. funktsiya shunchaki bo'lishi mumkin emas qadrlaydi qaysi quyida juda kichik doimiy qiymatini lekin nolga teng emas, vakili, har qanday ma'lum funktsiyasi ba'zi abadiy "butun" juda noaniq va noaniq fikr ishlatiladi. Shunday ekan, funktsiya dalillar va ikkinchi lotin bo'yicha ifodalanishi mumkin funktsiyalarini, ularning tegishli o'sish abadiy bosqichlarida ta'riflariga joriy etish faqat bir qadam bo'ldi. Va bu qadam deyarli bir vaqtning o'zida yuqorida ikki buyuk olimlarni qabul qilindi.

ilm-fan bilan yuzlashish dolzarb amaliy mexanikasi muammolarni hal qilish zarurati asoslangan tez sanoat va texnologiya rivojlanib, Nyuton va Leibniz, bunday tushunchalar joriy olib, (ayniqsa, ma'lum orbital tanasining mexanik tezligiga nisbatan) o'zgarish darajasi vazifalarini topish umumiy yo'llarini yaratdi hosila funksiyasi va termoq deb, shuningdek, ma'lum boshiga se (o'zgaruvchining) sifatida algoritm teskari muammo yechimlari integral tushunchasiga olib keldi yo'lini topish bosib tezlashtiradi topildi Ala.

Dh muvaffaqiyatli ikkinchisi qiymatini hisoblash uchun qo'llanilishi mumkin Δu vazifalarni oshirib asosiy argumentlar o'sishiga mutanosib bo'ladi - Leybnitsning va Nyuton g'oya asarlarida birinchi u farqlar, deb paydo bo'ldi. Dh → sifatida nolga boqib, qolgan - Boshqa so'z bilan aytganda, ular lotin Δu = y (x) Dh + αΔh α Dh ikkala orqali ifodalangan bir oshirish vazifasi (belgilash, uning domen ichida) biron-bir nuqtada bo'lishi mumkin aniqlashdi 0, haqiqiy Dh ancha tezroq.

matematik tahlil asoschilaridan ko'ra, farqlari - bu aniq biron vazifalarini bosqichlarida birinchi atamadir. Hatto bir aniq belgilangan chegara tushunchasi ketliklar lotin differensial qiymati faoliyat istagi, deb intuitiv tushunarli bo'lmasdan qachon Dh → 0 - Δu / Dh → y '(x).

birinchi navbatda, bir fizik va jismoniy muammolarni o'rganish uchun yordamchi vosita sifatida ko'rib matematik apparat edi Nyuton farqli o'laroq, Leybnits vizual va tushunarli ramzlari matematik qadriyatlar tizimi, shu jumladan, bu avtomobil vositasini ko'proq e'tibor qaratildi. Bu farqlar funktsiyasi DY standart namoyish taklif = y (x) dx, DX, va ularning munosabatlari y sifatida argument vazifasini lotin (x) = DY / DX kim u edi.

zamonaviy ta'rifi

zamonaviy matematika nuqtai nazaridan differensial nima? Bu yaqindan bir o'zgaruvchilar oshirish tushunchasi bilan bog'liq. o'zgaruvchan y = ₁ y y birinchi qiymatini _olsa, so'ngra y y _2, farqi y ₂ ─ y ₁ oshirish qiymati y deb ataladi =. oshirish ijobiy bo'lishi mumkin. salbiy va nol. so'zi "oshirish" ( "Delta Y" o'qib) yozishni d, Δu tayinlangan oshirish y qiymatini bildiradi bo'ladi. Bas, Δu = y ₂ ─ y _1.

qiymati Δu o'zboshimchalik funktsiyasi y = f (x) A Dh hech qanday bog'liqlik, t bo'lgan Δu = A Dh + α, deb ifodalash mumkin bo'lsa. bu x E. A = const va muddatli α Dh → 0 istagi qachon bu belgilanadi, hatto tezroq dolzarb Dh, keyin birinchi ( "master") bir muddatgacha proportsional Dh ortiq bo'lib, y = f (x) differentsial uchun dy yoki df (x) ( "y de", "de EFF X" o'qib). Shuning uchun farqlari - bir "asosiy" Chiziqli berilur Dh vazifalarning tarkibiy qismlarida nisbatan.

mexanik tushuntirish

harakat, to'g'ri chiziq uzoqliligi - s f (t) = bo'lsin moddiy nuqtaga (- safar vaqti t) boshlang'ich joydan. Oshirish Δs - bir vaqt oralig'ida Dt davomida yo'l nuqtasi bo'lib, differensial DS = f - (t) (t) Dt u tezlik f saqlab bo'lsa, bu yo'l, nuqta shu vaqt davomida o'tkazilgan bo'ladi, Dt «T erishilgan . abadiy Dt DS xayoliy yo'l haqiqiy Δs infinitesimally Dt'ye nisbatan yuqori tartibini ega farq bo'lsa. T tezligi nolga teng bo'lmasa, taxminiy qiymati DS kichik qiyalik nuqtasini beradi.

geometrik talqini

liniyasi L y = f (x) ning grafik hisoblanadi qilaylik. So'ngra Δ x = MQ, Δu = QM "(qarang. Quyidagi shakl). Chiziqlarga MN Δu ikki qismdan, QN va NM «o'yilgan buzadi. Birinchi va Dh hisoblanadi proportsional QN = MQ tg (burchak QMN) = Dh f '(x), t. E QN dy termoq ∙.

Dh → 0 NM uzunligi ', hatto tezroq dalillar o'sishiga nisbatan kamayadi farq Δu NM'daet ─ DY, ikkinchi qismi Dh ortiq oliy smallness tartibini, ya'ni. Bu holda, f '(x) ≠ 0 (non-parallel urinma OX) segmentlari QM'i QN teng bo'lsa; Boshqa so'zlar bilan aytganda NM jami oshirish Δu = QM ortiq (yuqori uning smallness tartibi) tez kamayadi. Bu shaklni (yaqinlashib segment M'k M NM'sostavlyaet barcha kichik miqdor QM "segment) ko'rinadi.

Shunday qilib, grafik o'zboshimchalik funktsiyasi tangens burchagi Muntazam oshirishga teng, termoq.

Lotin va termoq

ifoda oshirish vazifasi birinchi muddatda bir omil uning hosilasi f '(x) qiymatiga teng bo'ladi. Shunday qilib, quyidagi munosabat - dy = f (x) Dh "(x) Dh yoki df (x) f = '.

Bu mustaqil dalillar oshirish, uning differensial Dh = DX teng ekanligini ma'lum. Shunga ko'ra, biz yozishingiz mumkin: f '(x) dx = dy.

(Ba'zan "qaror" deb) farqlari topish lotin uchun bir xil qoidalar bilan amalga oshiriladi. Ularning ro'yxati quyida berilgan.

Nima ko'proq universal hisoblanadi: argument yoki uning differensial oshirish

Bu erda bir necha aniqliklar qilish kerak. Vakillik qiymati f '(x) differentsial Dh mumkin argument sifatida x inobatga qachon. Lekin funksiya x argument t funksiyasi bo'lishi mumkin bo'lgan murakkab, bo'lishi mumkin. So'ngra f '(x) Dh differentsial ifoda vakillik, qoida tariqasida, bu mumkin emas; + B chiziqli qaramlik x = taqdirda bundan mustasno.

formula F sifatida "(x) =, keyin x t parametrik qaram taqdirda mustaqil argument x taqdirda (keyin dx = Dh), u differensial dy DX hisoblanadi.

Misol uchun, ifoda 2 x Dh y = x ² x argument hisoblanadi, uning differensial uchun. Biz endi x = t ² va t argument taxmin. So'ngra y = x ² = t ^4.

Bu (t + Dt) ² = t ² + 2tΔt + Dt ² tomonidan ta'qib ^qilinadi. Shuning Dh = 2tΔt + Dt ^2. Shuning uchun: 2xΔh = 2T ² (2tΔt + Dt ^2).

Bu ifoda Dt'ye mutanosib emas, va shuning uchun endi 2xΔh termoq emas. Bu tenglama y = x ² = t ⁴ dan topish ^mumkin. Bu teng dy = 4t ³ Dt hisoblanadi.

Biz ifoda 2xdx olish bo'lsa, u har qanday bahs t uchun differensial y = x ^2. Albatta, x = t ² dx = 2tΔt olish qachon.

Shunday qilib, 2xdx = 2T ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t., Ikki turli o'zgaruvchilar tomonidan qayd ifoda farqlari mos E..

ortish diferansiyellerini almashtirish

f bo'lsa (x) ≠ 0, keyin Δu va dy teng (qachon Dh → 0); f '(x) = 0 (ma'nolari va DY = 0) bo'lsa, ular ekvivalent emas.

Misol uchun, = (x + Dh) ² ─ x ² = 2xΔh + Dh ² Δu ^keyin, = x ² y va DY bo'lsa = 2xΔh. x = 0 qiymati Δu = Dh ² va dy = 0 teng bo'lmagan paytda x = 3 bo'lsa, unda biz Dh ² → 0 tufayli teng Δu = 6Δh + Dh ² va dy = 6Δh, bor.

Bu haqiqat, birgalikda differensial oddiy tuzilishi bilan (m. Dh nisbatan E. Doğrusallık), ko'pincha sharti bilan, taxminiy hisoblash ishlatiladi kichik Dh uchun Δu ≈ DY deb. differensial vazifasi odatda o'sishining aniq qiymatini hisoblash uchun nisbatan osonroq toping.

Misol uchun, biz chetiga bilan metall kub bor x = 10.00 sm. Dh = 0,001 sm. oshdi qanday hajmi kub V uzaytirib chetini isitish? ^Biz, V = x ² bor, shunday qilib, DV = 3x ² = Dh 3 ∙ ∙ ⁰ 10 2/01 = 3 (sm ^3). Borayotgan ΔV teng differensial DV, shunday qilib, ΔV = 3 sm ^3. To'liq hisoblash ³ ΔV = 10,01 ─ Mart ¹⁰ = 3.003001 beradi. Lekin birinchi ishonchsiz tashqari barcha raqamlar natijasi; Shuning uchun, bu 3 sm ³ gacha dumaloq hali ^kerak.

Shubhasiz, bu yondashuv xato bilan kishisi qiymatini hisoblash mumkin faqat foydalidir.

Differensial funktsiyasi: misollar

ning lotin bilan ^topish, funktsiya y = x ³ differentsial topishga harakat qilaylik. AQSh argument oshirish Δu berish va aniqlash qilaylik.

Δu = (Dh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Dh (Dh 3xΔh ² + ^3).

birinchi muddatli proportsional Dh, boshqa a'zo 3xΔh Dh ² + ³ deb shuning uchun bu erda, koeffitsienti A = 3x ^2, Dh bog'liq emas Dh → 0 dalillar o'sishiga nisbatan tezroq kamayadi qachon. Binobarin, 3x ² Dh a'zosi y = x ^{3 termoq:}

dy = 3x ² Dh = 3x ² DX yoki d (x ³⁾ = 3x ² DX.

Bo'lib, d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Biz endi topish vazifasi y = 1 / x lotin, tomonidan. So'ngra d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Shuning uchun dy = ─ Dh / x ^2.

asosiy algebraik vazifalari quyida berilgan farqlari.

termoq yordamida taxminiy hisob-kitoblar

funktsiya f (x) baholash va lotin f '(x) x = a, ko'pincha qiyin, lekin x = a yaqinida bir xil qilish oson emas-da. So'ngra taxminiy so'z yordamga keladi

f (a + Dh) ≈ f '(a) Dh + f (a).

Bu uning differensial Dh f '(a) Dh orqali kichik bosqichlarida da funktsiyasi taxminiy qiymatini beradi.

Shuning uchun, bu formula qismi (x = a) va shu boshlang'ich nuqtasida differensial boshlang'ich nuqtada qiymati yig'indisi sifatida uzunligi Dh bir qismi so'nggi nuqtasida funktsiyasi uchun taxminiy ifoda beradi. funktsiya qiymatlarini aniqlash uchun usuli aniqligi quyida o'yini ko'rsatilgan.

Biroq ma'lum va formula cheklangan soni oshib tomonidan berilgan funktsiya x = a + Dh qiymati uchun aniq ifoda (Shu bilan bir qatorda, yoki, LAGRANGE ning formula)

f (a + Dh) ≈ f '(ξ) Dh + f (a),

nuqta x = a + ξ, x = A x = a + Dh oralig'i ham qaerda uning aniq munosabat noma'lum bo'lsa-da. aniq formula taxminiy formula xato baholash imkonini beradi. Bu to'g'ri bo'lishi uchun to'xtatgan, lekin, odatda, farqi jihatidan original ifoda ancha yaxshi yondashuv beradi-da, biz, Lagrange formula x = Dh / 2 qo'yish bo'lsa.

termoq qo'llash orqali baholash formulalari xato

o'lchov asboblari tamoyili, noto'g'ri va xato mos o'lchash ma'lumotlariga olib. Ular cheklash bilan ifodalanadi mutlaq xato, aniq (eng teng unga yoki) mutlaq qiymati xato cheksiz, ijobiy - chegarasi xato qisqa yoki. Cheklash nisbiy xato o'lchanadigan qiymati mutlaq qiymati bilan uni bita olingan bo'linma deyiladi.

Bo'lsin aniq formula y = f (x) funksiya vychislyaeniya y uchun ishlatiladigan, ammo x qiymati o'lchash natijasidir, va shuning uchun y xato keladi. So'ngra, formulalar yordamida, cheklash mutlaq xato │Δu│funktsii y topish

│Δu│≈│dy│ = │ '(x) ││Δh│ f,

qaerda │Δh│yavlyaetsya marginal xato argument. │Δu│ miqdor sifatida, yuqoriga yumaloq kerak noto'g'ri hisoblash o'zi differensial hisoblash o'sishidan almashtirish hisoblanadi.