Bir va bir nechta o'zgaruvchining vazifasini differentsial hisoblash

Diferensial hisoblash - bu matematik analizning bir qismi, bu lotin, differensiallik va funktsiyalarni o'rganishda ulardan foydalanishni o'rganadi.

Tashqi ko'rinish tarixi

Differentsial hisoblash 17-asrning ikkinchi yarmida mustaqil disiplinga ajralib chiqdi. Nyuton va Leibniz asarlaridan kelib chiqqan holda, differensialliklarni hisoblashda asosiy tamoyillarni shakllantirdi va integratsiyalashuv va farqlash o'rtasidagi bog'liqlikni aniqladi. Shu paytdan boshlab intizom integrali hisoblash bilan birga ishlab chiqilib, matematik tahlilning asosini tashkil etadi. Bu kaltsiylarning paydo bo'lishi matematik dunyoda yangi zamonaviy davrni ochdi va fanda yangi fanlarning paydo bo'lishiga olib keldi. Tabiiy fanlar va texnologiyalarda matematika fanini qo'llash imkoniyatlari kengaytirildi.

Asosiy tushunchalar

Diferensial hisoblash matematikaning asosiy tushunchalariga asoslangan. Ular: haqiqiy son, uzluksizlik, funktsiya va chegara. Biroz vaqt o'tgach, integral va differensial kaltsiy tufayli zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldilar.

Yaratish jarayoni

Nikolay Kuzanskiy tomonidan yaratilgan falsafiy nazariyaning paydo bo'lishidan oldin amaliy va keyin ilmiy uslubda farqli hisoblashni shakllantirish. Uning asarlari qadimgi ilm-fanning hukmlaridan evolyutsion rivojlanish deb hisoblanadi. Falsafaning o'zi matematik bo'lmaganiga qaramasdan, matematikaning ilm-fan rivojiga qo'shgan hissasi shubhasizdir. Kuzanskiy arifmetikani ilm-fanning eng aniq sohasi sifatida ko'rib chiqishdan voz kechib, shu vaqtning matematikasini shubha ostiga qo'ygan birinchi kishi edi.

Qadimgi matematiklarda universal o'lchov birlik bo'lib, faylasuf aniq sonning o'rniga yangi o'lchov cheksizligi sifatida taqdim etilgan. Shu munosabat bilan matematikadan aniqlik tushunchasi invertlanadi. Uning fikriga ko'ra, ilm-fan bilimlari aql-idrok va aql-idrokka bo'lingan. Ikkinchisi, aniqrog'i, olimning fikriga ko'ra, aniqrog'i, taxminan natija beradi.

Fikr

Turli xil hisoblarda asosiy g'oya va kontseptsiya ma'lum nuqtalardagi kichik mahallalardagi funktsiyaga bog'liq. Buning uchun belgilanadigan nuqtalarning kichik chegarasida xatti-harakati polinom yoki lineer funktsiyaning harakatlariga yaqin bo'lgan funktsiyani o'rganish uchun matematik apparat yaratish kerak. Bu lotin va differentsial ta'rifiga asoslanadi.

Lotin kontseptsiyasining paydo bo'lishi tabiiy fanlardan va matematikaning ko'plab muammolaridan kelib chiqdi va bu bir xil chegaralar qadriyatlarini topishiga olib keldi.

Masalan, o'rta sinflar bilan boshlanadigan asosiy vazifalardan biri to'g'ri chiziqdagi nuqtaning tezligini va bu chiziqqa chiziqli chiziqni qurishni aniqlashdir. Bu differensiallik bu bilan bog'liq, chunki funksiyaning ushbu kichik funktsiyaning kichik nuqtasida yaqinlashishi mumkin.

Haqiqiy o'zgarmaydigan funktsiyaning türevinin konseptiyle bilan solishtirganda, farklılıkların ta'rifi oddiy tabiatning funktsiyasiga, xususan, bir Öklid uzayının tasvirini boshqasiga o'tadi.

Lotin

Vaqt o'qining o'qi bo'ylab harakatlansin, vaqtning aniq bir boshidan o'lchanadigan x ni olamiz. Y = f (x) funktsiyasi bilan bunday harakatni tavsiflab bering, u ko'chib o'tgan nuqtaning koordinatasining har bir daqiqasiga mos keladi. Mexanikada bu funktsiya harakat qonuni deb nomlanishi kerak. Harakatning asosiy xarakteristikasi, xususan, bir-biriga mos bo'lmagan, tezkor tezlik. Vaqt mexanika qonuniga ko'ra Oyning o'qi bo'ylab harakat qilganda, u holda tasodifiy vaqtda x (x) koordinatasini oladi. X + dx vaqtida, bu erda Dx vaqt oshishini anglatadi, uning kataditi f (x + dx) bo'ladi. Funktsiya ortishi deb ataladigan dy = f (x + dx) - f (x) formulasi shunday shakllanadi. X dan x + dx ga bir vaqtning o'zida o'tadigan yo'lni ifodalaydi.

Ushbu tezlikning paydo bo'lishi bilan bog'liq holda, vaqtinchalik bir lotin paydo bo'ladi. Ixtiyoriy funktsiyadagi sobit nuqtada lotin limiti (uning mavjudligi sharoitida) deb ataladi. Bu belgi bilan belgilanishi mumkin:

F '(x), y', i, df / dx, dy / dx, Df (x).

Lotinni hisoblash jarayoni differentsiatsiya deb ataladi.

Bir necha o'zgaruvchining funktsiyasini differentsial hisoblash

Ushbu hisoblash usuli bir nechta o'zgaruvchan funktsiyani o'rganish uchun ishlatiladi. X va y ikkita o'zgaruvchining ishtirokida, A nuqtasida xga nisbatan qisman lotincha ushbu funktsiyaning x ga nisbatan o'zgaruvchan y bilan bog'liqligi deb ataladi.

Quyidagi belgilar bilan belgilanishi mumkin:

F '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x yoki ∂f (x, y) '/ ∂x.

Kerakli ko'nikmalar

Diffuserlarni muvaffaqiyatli o'rganish va ularni bartaraf etish uchun integratsiyalashuv va differentsiatsiyalash qobiliyatlari talab qilinadi. Diferensial tenglamalarni tushunishni osonlashtiradigan bo'lsak, lotin ob'ektini va cheksiz integralni yaxshi tushunish kerak . Bundan tashqari, bevosita aniqlangan funksiyaning lotinini izlashni o'rganish ham zoe bo'lmaydi. Buning sababi, o'rganish jarayonida ko'pincha integrallash va differentsiatsiyadan foydalanish zarur.

Diferensial tenglamalar turlari

Birinchi darajali differentsial tenglamalar bilan bog'liq barcha nazorat ishlarida deyarli tenglikning uch turi mavjud: bir hil, ajralib turuvchi parametrlarga ega, birlamchi bo'lmagan chiziqli.

Bundan tashqari, noyob turdagi tenglamalar mavjud: to'liq farqlar, Bernulli tenglamalari va boshqalar.

Biznes asoslari

Dastlab, maktab kursidan algebraik tenglamalarni eslab qolish kerak. Ular o'zgaruvchilar va raqamlarni o'z ichiga oladi. Oddiy tenglamani echish uchun, ushbu shartni qondiradigan raqamlar to'plamini topish kerak. Odatda, bunday tenglamalar bitta ildizga ega edi va bu qiymatni noma'lum joyga almashtirish uchun faqat zarur bo'lganligini tekshirish kerak edi.

Diferensial tenglama shunga o'xshash. Umumiy holda, ushbu birinchi tartibli tenglama quyidagilarni o'z ichiga oladi:

• Mustaqil o'zgaruvchi.
• Birinchi funksiyaning lotin.
• Funktsiya yoki qaram o'zgarmaydigan.

Ba'zi hollarda x yoki y noma'lum kimsalar yo'q bo'lishi mumkin, ammo bu juda muhim emas, chunki undagi buyruqlar va differentsial hisoblarning to'g'ri bo'lishi uchun birinchi darajali tuplamga ega bo'lishi kerak.

Diferensial tenglamani echish uchun berilgan ifodaga mos keladigan barcha funktsiyalar to'plamini topish kerak. Bunday funktsiyalar ko'pincha DW ning umumiy echimi deb ataladi.

Integral hisob

Integral hisoblash integral tushunchasini, uning hisoblash xususiyatlarini va usullarini o'rganadigan matematik analizning bo'limlaridan biridir.

Ko'pincha, integralni hisoblash kavisli shaklning maydonini hisoblashda paydo bo'ladi. Ushbu maydonga ko'ra, ko'rsatilgan sonda yozilgan ko'pburchak maydoni chegaralarini o'z vaqtida oshirib boradi, bunda tomonlar oldindan belgilangan o'zboshimchalik bilan kichik qiymatdan kamroq bajarilishi mumkin.

O'zboshimchalik bilan geometrik raqam maydonini hisoblashning asosiy g'oyasi - uning to'rtburchak maydonini hisoblash, ya'ni uning maydoni uzunligi va kengligi mahsulotiga teng ekanligini isbotlash. Geometriya haqida gap ketganda, barcha konstruktsiyalar rulet va kompas yordamida amalga oshiriladi, keyin uzunlikning kengligi nisbiy qiymati. To'g'ri to'rtburchak uchburchakning maydonini hisoblashda, agar siz uning yonida bir xil uchburchakni qo'ysangiz, to'rtburchak shakllanadi. Parallelogrammada bu maydon bir xil, lekin biroz murakkab usul bilan, to'rtburchak va uchburchak orqali hisoblab chiqiladi. Ko'pburchakda maydon uchburchaklardan hisoblangan.

O'zboshimchalik bilan egri mehrini aniqlashda ushbu usul ishlamaydi. Agar siz uni bitta kvadratchaga aylantirsangiz, unda bo'sh joy qolmaydi. Bunday holatda, yuqoridagi va pastdagi to'rtburchaklar bilan ikkita qopqoqdan foydalanishga harakat qiling, natijada ular funktsional grafikni o'z ichiga oladi va qo'shilmaydi. Muhimi bu to'rtburchaklarni yechish yo'lidir. Bundan tashqari, biz ko'proq va ko'proq parchalanib ketadigan bo'lsak, yuqoridan va pastdagi maydon ma'lum bir qiymatga yaqinlashishi kerak.

To'rtburchaklarga bo'lish usuliga qaytish kerak. Ikkita mashhur usul mavjud.

Riemann, Leibniz va Nyuton tomonidan subgrafning maydoni sifatida yaratgan integral tushunchasini rasmiylashtirdi. Bunday holda, biz bir necha vertikal dikdörtgenlerden tashkil topgan raqamlarni ko'rib chiqdik va bu qismni bo'lish yo'li bilan qo'lga kiritdik. Ushbu sonning maydoni kamaytirilishiga olib keladigan buzilishning kamayishi chegarasi mavjud bo'lganda, bu chegara ma'lum bir vaqt oralig'idagi funktsiyaning Riemann integrali deb ataladi.

Ikkinchi usul - domenning integral qismlariga bo'linishi va keyin bu qismlarda olingan qiymatlardan kompleks summani hosil qilish va undan keyin bu integrallarning oldingi o'lchovlari bilan yig'ish uchun oraliqlarga o'z qiymatlar oralig'ini ajratishdan iborat bo'lgan Lebesg integralining qurilishi.

Zamonaviy imtiyozlar

Differentsial va integral hisoblarni o'rganish bo'yicha asosiy qo'llanmalardan biri Fichtenholz tomonidan "Differentsial va integral hisoblash kursi" deb nomlangan. Uning darsliklari matematik tahlilni o'rganishda asosiy yordam bo'lib, ko'plab nashrlar va boshqa tillarga tarjima qilingan. U universitet talabalari uchun yaratilgan va uzoq vaqt davomida turli ta'lim muassasalarida asosiy o'quv qo'llanmalaridan biri sifatida foydalanilgan. Nazariy ma'lumotlar va amaliy ko'nikmalar beradi. Birinchi marta 1948 yilda nashr etilgan.

Funktsional tadqiqotlar algoritmi

Differensial hisob-kitob funktsiyasi usullarini o'rganish uchun oldindan belgilangan algoritmni kuzatish kerak:

1. Funktsiya domenini toping.
2. Berilgan tenglamaning ildizlarini toping.
3. Ekstremani hisoblang. Buning uchun lotin va u nolga teng nuqtalarni hisoblang.
4. Olingan qiymati tenglamaga almashtiramiz.

Diferensial tenglamalar turlarini

Birinchi tartibdagi DU (boshqacha aytganda, bir o'zgaruvchining differentsial hisob-kitobi) va ularning turlari:

• Ajratuvchi o'zgaruvchilari bilan tenglik: f (y) dy = g (x) dx.
• Eng oddiy tenglamalar yoki bitta o'zgarmaydigan funktsiyani differentsial hisoblash quyidagi formulaga ega: y '= f (x).
• Birinchi tartibli lineer bir xil bo'lmagan DN: y "+ P (x) y = Q (x).
• Bernulli differentsial tenglama: y "+ P (x) y = Q (x) y ^a .
• Jami diferansiyali tenglamalar: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Ikkinchi tartibdagi differensial tenglamalar va ularning turlari:

• Ikkinchi regressning chiziqli bir xil differensial tenglamasi koeffitsientning doimiy qiymatlari bilan: y ⁿ + py + qy = 0 p, q R ga tegishli.
• Ikkinchi koeffitsientning koeffitsientlarining sobit qiymati bilan lineer bo'lmagan bir xil bo'lmagan differensial tenglama: y ⁿ + py + qy = f (x).
• To'rtinchi darajali bir xil differensial tenglama: y ⁿ + p (x) y '+ q (x) y = 0 va ikkinchi darajadagi homogen bo'lmagan tenglama: y ⁿ + p (x) y' + q (x) y = f (x).

Yuqori buyruqlar differentsial tenglamalari va ularning turlari:

• F (x, y ^(k) , y ^{(k + 1)} , .., y ⁽ⁿ⁾ = 0 bo'ladigan tartibli differentsial tenglamalar .
• Yuqori darajadagi chiziqli tenglama bir hil: y ⁽ⁿ⁾ + f _(n-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0 va tengsiz: y ⁽ⁿ⁾ + f _{(n -1)} y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x) .

Differensial tenglama bilan muammoni hal qilishning qadamlar

DU yordamida matematik yoki fizikaviy masalalar hal etilmaydi, balki biologiya, iqtisod, sotsiologiya va boshqa sohalarda turli muammolar ham mavjud. Ko'p turli mavzularga qaramasdan, bunday muammolarni echishda bitta mantiqiy ketma-ketlikni qo'llash kerak:

1. DMni tuzish. Maksimal aniqlikni talab qiluvchi eng qiyin bosqichlardan biri, chunki har qanday xato to'liq noto'g'ri natijalarga olib keladi. Jarayonga ta'sir ko'rsatadigan barcha omillarni hisobga olish va dastlabki shartlarni aniqlash kerak. Bundan tashqari, faktlar va mantiqiy nashrlarga asoslangan bo'lishi kerak.
2. Olingan tenglama yechimi. Bu jarayon birinchi holatdan ko'ra soddadir, chunki u faqat qattiq matematik hisoblarni talab qiladi.
3. Natijalarning tahlili va baholash. Olingan natijani natijaning amaliy va nazariy qiymatini aniqlash uchun baholash kerak.

Tibbiyotda differentsial tenglamalardan foydalanishning namunasi

Epidemiologik matematik modelni qurishda tibbiyot sohasidagi DM dan foydalanish muammosi uchraydi. Unutmangki, ushbu tenglamalar tibbiyotga yaqin bo'lgan biologiya va kimyolarda ham yuz beradi, chunki inson tanasida turli biologik populyatsiyalar va kimyoviy jarayonlarni o'rganish muhimdir.

Epidemiya bilan berilgan misolda yuqumli jamiyatda infektsiya tarqalishini ko'rib chiqish mumkin. Aholisi uch turga bo'linadi:

• Infektsiyalangan, x (t) raqami, jismoniy shaxslardan tashkil topgan, infektsiyaning tashuvchilari, ularning har biri yuqumli (inkubatsiya davri qisqa).
• Ikkinchi turda infektsiyaga duchor bo'lgan vaqtida kontraktga layoqatli y (t) sezuvchan shaxslar kiradi.
• Uchinchi turda kasallik tufayli immunitet yoki o'limga duchor bo'lmagan z (t) shaxslar kiradi.

Jismoniy shaxslar soni doimiy, tug'ilish yozuvlari, tabiiy o'limlar va migratsiya hisobga olinmaydi. Bu erda ikkita faraz bo'ladi.

Muayyan bir vaqtda morbidlik foizi x (t) y (t) (taxmin taxminlar soni kasallar va sezilarli vakillari o'rtasidagi kesishishlar soniga mutanosib bo'lgan nazariyaga asoslanadi, bu birinchi taxminan x (t) y (t) ga mutanosib bo'ladi. Shuning uchun ishlarning soni oshib boradi va sezgir odamlar soni vel (t) y (t) (a> 0) formula bilan hisoblangan tezlik bilan pasayadi.

Immunitet yoki o'limga duchor bo'lgan beg'araz shaxslarning soni bx (t) (b> 0) soniga mutanosib ravishda ko'payadi.

Natijada, barcha uch ko'rsatkichni hisobga olgan holda tenglamalar tizimini tuzish va uning asosida xulosalar chiqarish mumkin.

Iqtisodiyotda foydalanishning namunasi

Iqtisodiy tahlilda ko'pincha hisob-kitoblar qo'llaniladi. Iqtisodiy tahlilning asosiy vazifasi - funktsiya shaklida yozilgan iqtisodiyotning miqdorini o'rganishdir. Bu daromadlarning o'zgarishi, daromadlarning o'zgarishi, daromadlarning o'zgarishi, ishlab chiqarish qiymatining o'zgarishi natijasida kompaniyaning daromadlaridagi o'zgarishlarni, almashtirilgan xodimlarning qaysi qismini yangi uskunalar bilan almashtirishi mumkinligi bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Bunday savollarni hal qilish uchun kelib chiqadigan o'zgaruvchilardan bog'lanish funktsiyasini yaratish kerak, keyinchalik ular differensial hisob-kitoblar yordamida o'rganiladi.

shunday qilib, maksimal samaradorlikni, eng yuqori daromad, hech bo'lmaganda xarajatlarni va: iqtisodiy sohada eng optimal ishlashini topish ko'pincha zarur. Har bir bunday komponenti bir yoki bir necha mustaqil o'zgaruvchilar bir funksiyasi. Masalan, ishlab chiqarish, mehnat va kapitalning bir vazifasi sifatida qabul qilinishi mumkin. Shu munosabat bilan, bir mos qiymatini topish bir yoki bir necha o'zgaruvchilar bir funktsiya maksimal yoki minimal topish uchun kamaytirish mumkin.

Bunday muammolar siz termoq hisob kerak, buning uchun iqtisodiy sohada ekstremal muammolar, bir sinf yaratish. iqtisodiy ko'rsatkich kamaytirish yoki boshqa parametrlar funktsiyasi sifatida maksimallashtirish uchun zarur bo'lsa dalillar oshirish nolga istagi bo'lsa, mustaqil oshirish nisbati maksimal nuqta funktsiya nol moyil bo'ladi. bunday munosabat ma'lum bir ijobiy yoki salbiy istagi bo'lsa hujjatingizni oshirish yoki kamaytirish orqali istalgan yo'nalishda qaram qiymatini o'zgarishi mumkin, chunki aks holda, belgilangan nuqta, mos emas. differensial hisobi terminologiyasini, bu maksimal funktsiyasi uchun zarur sharoitlar uning lotin, bir nol qiymat ekanligini anglatadi.

iqtisodiy ko'rsatkichlar bir qancha omillarga tashkil etiladi, chunki iqtisodiyot, bir necha o'zgaruvchilar bir funktsiyasi haddan tashqari topish ajoyib muammo emas. Bu masalalar, shuningdek, bir necha o'zgaruvchilar, termoq hisoblash usuli vazifalari nazariyasiga tushuniladi. Bunday muammolar nafaqat cheklashlar Yoyib va vazifasini kamaytirish nozil emas, balki o'z ichiga oladi. Bu savollar matematik dasturlash bilan bog'liq, va ular maxsus ishlab chiqilgan usullar yordam ham ilm-fan, bu filiali asoslangan bilan hal etiladi.

iqtisodiyotning ishlatiladigan differensial hisobning usullari orasida, muhim qism yakuniy sinov. Iqtisodiy sohada, muddatli o'zgaruvchan bajarish tadqiqot usullari majmui anglatadi va ularning chegara qiymatlari bir tahlil asosida, yaratish, iste'mol hajmini o'zgartirish qachon natijalari. ma'lumot ko'rib lotin yoki bir necha o'zgaruvchilar bilan qisman lotin cheklash.

bir necha parametrlarga termoq hisob - matematik analiz muhim mavzu. batafsil o'rganish uchun, oliy o'quv yurtlari uchun o'quv qo'llanmalar turli xil foydalanishingiz mumkin. Eng mashhur yaratgan Fikhtengol'ts biri - "Differentsial va integral hisobining." Qanday nomi ko'p muhim ahamiyatga ega differensial tenglamalar hal etish uchun integral bilan ishlash ko'nikmalarini ega bo'lishi. Bir o'zgaruvchining vazifalari bir differensial hisobi bor bo'lsa, qaror oson bo'ladi. u ta'kidlash kerak, bo'lsa-da, u bir xil asosiy qoidalarini quyidagicha. Amalda, differensial hisobning vazifasini tekshirish uchun, faqat yangi o'zgaruvchilar kiritish bilan allaqachon mavjud oliy maktabda berilgan algoritm, va faqat bir oz murakkab amal.