Chiziqli va birinchi maqsadida bir hil differensial tenglama. echimlar misollar

Men biz differensial tenglamalar sifatida ajoyib matematik vositasi tarixi bilan boshlash kerak deb o'ylayman. Barcha differentsial va integral hisobning kabi, bu tenglamalar kech 17 asrda Nyuton tomonidan ixtiro qilingan. U deb tarjima qilinishi mumkin, bugun ham shifrlangan xabar, quyidagi, shunday qilib, muhim, uning kashfiyot edi iymon: ". Differensial tenglamalar tomonidan tasvirlangan tabiat barcha qonunlarga" Bu mubolag'a tuyulishi mumkin, lekin bu haqiqat. fizika, kimyo, biologiya Har qanday qonun, bu tenglamalar bilan ifodalangan bo'lishi mumkin.

differensial tenglamalar nazariyasi rivojlantirish va yaratish uchun ulkan hissa Euler va Lagrange ning matematika bor. Allaqachon 18 asrda ular topilgan va hozir katta universitet kurslarida tahsil olayotgan nima ishlab chiqildi.

differensial tenglamalar o'rganishga yangi davrdir Anri Puankare tufayli boshladi. maydon va uning xususiyatlari fan - U topologiyasi yaratilishidan ancha hissa murakkab o'zgaruvchilar vazifalari nazariyasi bilan birga, bir "differensial tenglamalar sifatli nazariyasi" yaratilgan.

differensial tenglamalar nima?

Ko'p odamlar iboraning qo'rqadi "differensial tenglama". Biroq, bu maqolada biz batafsil aslida sarlavhasi ko'rinadi kabi murakkab emas, bu juda foydali matematik vositasi mohiyatini yo'lga bo'ladi. birinchi tartib differensial tenglama haqida gapirish boshlash uchun, avval, tabiiy ravishda, bu ta'rifi bilan bog'liq asosiy tushunchalar bilan tanishish lozim. Va biz differentsial bilan boshlash olaman.

differensial

Ko'p odamlar o'rta maktabda beri bu muddatni bilaman. Biroq, hali batafsil unga to'xtalib. funktsiya grafigi tasavvur qiling. Biz o'z segmentida har qanday bir to'g'ri chiziq bo'lib, bunday darajada uni oshirish mumkin. Bu bir-biriga juda yaqin bo'lgan bu ikki ochko olaman. ularning koordinatalarini (x va y) o'rtasidagi farq abadiy emas. Va u differensial deb ataladi va belgilar dy (y differensial) va DX (x differensial) topmoq. Bu differensial yakuniy qiymati emas, deb tushunish muhim emas, va bu ma'no va asosiy vazifasi hisoblanadi.

Va endi siz biz differensial tenglama tushunchasini tushuntirish uchun kerak bo'ladi quyidagi elementlarni, o'ylab kerak. Bu - yasama.

hosila

Hammamiz maktabda va bu haqda so'z da eshitgan bo'lishi kerak. o'sish yoki funktsiya kamayishi nisbati - Ular hosila, deb aytish. Biroq, bu ta'rif ko'proq chalkash bo'ladi. AQSh farqlari lotin shartlarini tushuntirishga harakat qilaylik. bir-biridan minimal masofada joylashgan ikki ochko bilan qaytib abadiy interval funktsiyasi boramiz. Lekin hatto bu masofa funksiyasi orqasida ba'zi qiymatiga o'zgartirish vaqti keldi. Va bu o'zgarishlarni ta'riflashga va aks holda farqlari nisbati sifatida yozilgan bo'ladi, bir lotin bilan kelish: (x) = df / DX f.

Endi lotin asosiy xususiyatlarini hisobga olish zarur. uch faqat bor:

1. Suyuq lotin summasi yoki farq hosilalarini yig'indisi yoki farq sifatida tasvirlaydi mumkin: (a + b) + b », va (ab) = a'-B '', bir = '.
2. Ikkinchi mulk ayirish bilan bog'liq. - lotin ishlari yana lotin bir vazifasi asarlari yig'indisi hisoblanadi: (a * b) * b + a * b '', bir = '.
3. farq lotin quyidagi tenglama deb yozilgan bo'lishi mumkin: (a / b) '= (a' * ba * b ») / b ^2.

Bu barcha xususiyatlar birinchi tartibini termoq hal topish uchun qulay keladi.

Shuningdek, qisman lotin bor. Biz o'zgaruvchilar x va y bog'liq z, bir vazifasi, deb yozilgan. Bu funktsiya Qisman lotin hisoblash uchun, masalan, x, biz doimiy va farqlash oson uchun o'zgaruvchan y olish kerak.

integral

Yana bir muhim tushunchasi - muhim. Aslida lotin qarama-qarshidir. Integral bir necha turlari bor, lekin differensial tenglamalar oddiy yechimlari, biz eng arzimas kerak noaniq integral.

Shunday qilib, muhim nima? Keling, x F ba'zi munosabatlar bor deylik. Biz undan ajralmas olish va original funktsiyasi bir lotin bir vazifani F (x) (ko'pincha bir ibtidoiy deb ataladi), olish. Shuning uchun F (x) = f (x). Bu, shuningdek, lotin, integral asl vazifasi teng ekanligini nazarda tutadi.

differensial tenglamalarni yechishda juda tez-tez yechim topish uchun, ularni qabul qilish kerak, chunki, integral ma'nosini va vazifasini tushunish juda muhim ahamiyatga ega.

tenglamalar, ularning tabiatiga qarab farq qiladi. Keyingi bobda biz birinchi tartibi differensial tenglamalar turlari qarash, keyin ularni hal qilish qanday bilib olasiz.

differensial tenglamalar darslari

"Diffury" ularda ishtirok hosilalarini buyrug'i bilan bo'lingan. Shunday qilib, birinchi, ikkinchi, uchinchi yoki undan ko'p buyurtma bor. oddiy va qisman: Ular ham bir necha sinfga bo'linadi mumkin.

Ushbu maqolada, biz birinchi tartibi oddiy differensial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Misollar va echimlar quyidagi bo'limlarda muhokama. Bu tenglamalar eng keng tarqalgan turlari, chunki, biz faqat toj ko'rib. Oddiy kenja bo'linadi: bir hil va turli jinsli ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan. Keyingi Agar ular bir-biridan farq o'rganish va ularni hal qilish uchun qanday bilib olasiz.

Biz birinchi tartibini differensial tenglamalar tizimini olish so'ng, shunday qilib, Bundan tashqari, ushbu tenglamalar, birlashtirilishi mumkin. Bunday tizimlar, biz ham qarash va hal o'rganadilar.

Nima uchun biz faqat birinchi tartibini hisobga olgan holda etiladi? u bitta maqolada, oddiy bilan boshlash va differensial tenglamalar bilan bog'liq barcha tasvirlash uchun zarur, chunki bu mumkin emas.

argumentlarni ajralib tenglamalar

Bu, ehtimol, eng oddiy birinchi martabada termoq hisoblanadi. y '= f (x) * f (y): Bu kabi yozilgan bo'lishi mumkin misollar mavjud. y '= dy / DX: bu tenglamani echish uchun biz farqlari nisbati sifatida lotin vakillik formulasini kerak. dy / dx = f (x) * f (y): u bilan biz tenglama olish. Endi biz standart misollar yechish usuli qo'yishingiz mumkin: alohida argumentlarni qismlarida, ya'ni tez oldinga barcha o'zgaruvchan y dy bor qismida, shuningdek, o'zgaruvchan x qilish ... dy / f (y) = f (x) dx, ikki qismdan integralleri olib erishiladi: Biz formada bir Tenglama olish. Agar integratsiya keyin qo'yish istayman, bu doimiy haqida unutmang.

har qanday "diffura" hal - (bizning holatda) y x bir funksiyasi, yoki raqamli holati mavjud bo'lsa, javob bir raqam. AQSh aniq bir misol qarori butun kursni ko'rib chiqamiz:

y '= 2y * sin (x)

turli yo'nalishlarda argumentlarni o'tkazish:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Endi integraller olish. Ularning barchasi integral maxsus jadvalda topish mumkin. Va biz olish:

Lev Nikolaevich (y) = -2 * cos (x) + C

zarur bo'lsa, biz "X" ning funktsiyasi sifatida "Y" ifoda mumkin. Endi biz holatini ko'rsatilmagan bo'lsa, bizning differensial tenglama, hal qilinadi, deb aytish mumkin. Masalan, y (n / 2) = e uchun, holatini belgilangan bo'lishi mumkin. Keyin, biz shunchaki qarori bu o'zgaruvchilar qiymatini o'rniga va doimiy qiymatini topishingiz mumkin. Bizning misolda, u 1.

Bir hil birinchi martabada termoq

Endi ko'proq murakkab qismlarga uchun. y '= z (x, y): Bir hil birinchi martabada termoq kabi umumiy shaklda yozilishi mumkin. Bu ikki o'zgaruvchilar o'ng vazifasi yagona ekanligini ta'kidlash lozim, va u qarab ikkiga bo'linib mumkin emas: z X va Y Z. tenglama bir hil yoki yo'qmi tekshirib, juda oddiy: biz almashtirish x = k * x va y = k * Y qilish. Endi biz barcha k kesib. Bu harflar tushib bo'lsangiz, so'ngra tenglama bir hil va xavfsiz hal qilish davom mumkin. Oldinga boqib, biz aytish: Bu misollar hal tamoyili ham juda oson.

, Y = t (x) * x qaerda t - ham x bog'liq bir vazifasi: Biz o'zgarish kerak. y '= t' (x) * x + t: Keyin biz türevini ifoda mumkin. Bizning asl tenglama butun bu o'rnini bosuvchi va uni soddalashtirish, biz x kabi o'zgaruvchilar T bo'linishi misol bor. uni hal va t (x) bog'liqligini olish. Biz uni bor bo'lsa, oddiygina bizning oldingi almashtirish y = t (x) * x o'rniga. Keyin, biz x, y bog'liqligini olish.

Bu aniqroq qilish uchun, biz bir misol tushunish kerak: x * y '= YX * e y / x.

Barcha kamayib almashtirish tekshirish qachon. Shunday qilib, tenglama, albatta, bir hil bo'ladi. Endi yana bir o'zgarish, biz haqida gapirib: y = t (x) * x va y '= t' (x) * x + T (x). soddalashtirish so'ng quyidagi tenglama: t (x) * x = -e t. Biz alohida o'zgaruvchilar bilan o'rnak olish uchun qaror va biz ^{olish: e -t = Lev Nikolaevich (C *} x). Biz faqat T o'rniga kerak y / x (y t * x = bo'lsa, u holda t = chunki y / x), va biz ^{javob olish: e -y / x = Lev Nikolaevich (} x * C).

birinchi tartib chiziqli differensial tenglama

Bu yana bir keng mavzuni ko'rib vaqti keldi. Biz turli jinsli birinchi martabada termoq qarash qiladi. Qanday qilib ular avvalgi ikki farq qilasiz? Ochig'ini. tenglama umumiy shaklida Chiziqli birinchi martabada termoq shunday yozilishi mumkin: y '+ g (x) * y = z (x). Bu z (x) va g (x) doimiy qiymatlar bo'lishi mumkin, deb aniqlanishi lozim.

- y * x = y: Bu erda bir misol x ^2.

U erda hal qilish uchun ikki yo'l bor, va biz ularning har ikkalasi ham ko'rib chiqamiz buyurtma. birinchi - o'zboshimchalik Sobit o'zgarish usuli.

Bu tarzda tenglamani hal qilish uchun u nolga birinchi o'ng tomonini tenglashtirmoq va qismlari transfer bo'ladi keyin natijasida tenglamani hal qilish zarur:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y xdx =;

Lev Nikolaevich | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * E ^{x2 / 2.}

Endi biz topasiz funktsiyasi v (x), doimiy C ₁ o'rniga zarur.

y = v * E ^{x2 / 2.}

O'zgartirish türevini Draw:

^{y '= v' * E x2} / ² kasalliklarining * v * E ^{x2 / 2.}

Va asl tenglama bu so'zlar o'rnini bosuvchi:

v '* E ^{x2 / 2} - x * v * E ^{x2 / 2} + x * V * E ^{x2 / 2} = x ^2.

Siz Ikki muddatdan chap tomonida kamayadi deb ko'rish mumkin. ba'zi bir misol sodir qilmagan bo'lsa, noto'g'ri narsa qilgan. Biz davom:

v '* E ^{x2 / 2} = x ^2.

Endi biz siz-argumentlarni ajratish lgan odatdagi tenglama hal:

DV / dx = x ^{2 /} E ^x2 / ^2;

DV = x ² * E ^{- x2 / 2} DX.

integral olib tashlash uchun, biz bu erda buyumlar bilan integratsiyasini amalga oshirish kerak. Biroq, ushbu maqolaning mavzusi emas. Agar manfaatdor bo'lsangiz, siz bunday harakatlarni amalga oshirish uchun o'z ustida o'rganish mumkin. Bu qiyin emas, va etarli mahorat va g'amxo'rlik bilan vaqt talab emas.

Bernoulli usuli: ikkinchi usuli bir hil bo'lmagan tenglamalar hal nazarda. Nima yondashuv tezroq va osonroq bo'ladi - u sizga.

y = k * n: bu usuli hal Bas, qachonki, Biz o'zgarish kerak. Bu erda, k va n - ayrim vazifalari x qarab. '= K * n + K * n y: So'ngra yasama kabi qarash qiladi. Tenglama o'rinbosar ikki tiklash o'z:

k * n + K * n "+ x * K * n = x ^2.

Guruh:

k * n + k * ( n "+ x * n) = x ^2.

Endi u Qavslar bo'ladi, nolga teng bo'lgan zarur. Agar ikki natijasida tenglamalarni birlashtirish bo'lsangiz, endi, biz birinchi tartibi differensial tenglamalar tizimi hal qilinishi uchun olish:

n '+ x * n = 0;

K »* n = x ^2.

birinchi tenglik qanday odatdagi tenglama qaror. Buning uchun, siz-argumentlarni ajratish kerak:

DN / dx = x * v;

DN / n = xdx.

Biz integral olish va biz olish: Lev Nikolaevich (N) = x ^2/2. So'ngra, biz n izhor bo'lsa:

n = e ^{x2 / 2.}

Endi ikkinchi tenglama natijasida tenglama o'rniga:

K »* E ^{x2 / 2} = x ^2.

Va biz birinchi usuli bir xil tenglama olish, o'zgarib:

DK = x ^{2 /} E ^x2 / ^2.

Biz, shuningdek, keyingi harakatni muhokama qilmaydi. Birinchi birinchi martabada termoq da hal muhim qiyinchiliklarga sabab deb aytiladi. Biroq, masalaning chuqurroq botish yaxshiroq va yaxshiroq olish uchun boshlang'ich bo'ladi.

Qani differensial tenglamalar bo'lgan?

Juda faol differensial deyarli barcha asosiy qonunlar differensial shaklida yozilgan fizika ishlatiladigan tenglamalar, va biz ko'rib o'sha formulalari, - bu tenglamalar bir yechim. kimyo, ular bir xil sabablarga ko'ra ishlatiladi: asosiy qonunlari ular orqali olingan. o'lja - biologiya, differensial tenglamalar bunday yirtqichni sifatida tizimlari, xatti model uchun ishlatiladi. Ular, shuningdek, mikroorganizmlarning masalan, koloniyalarni takror ishlab modellarini yaratish uchun foydalanish mumkin.

differensial tenglamalar hayotda yordam sifatida?

Bu savolning javobi oddiy: hech narsa. Agar olim yoki muhandis bo'lmasa, ular foydali bo'ladi, deb dargumon. Biroq, nima differensial tenglama bilish zarar va umumiy rivojlanishi uchun hal emas. Va undan keyin, bir o'g'li yoki qizi, savol "nima a differensial tenglama?" o'lik oxirida sizga qo'ymang. Agar olim yoki muhandis bo'lgan bo'lsa, keyin siz har qanday fan, bu mavzu ahamiyatini bilaman. Lekin eng muhimi, endi savol, bu "qanday birinchi tartibini differensial tenglama hal qilish uchun?" Siz har doim bir javob berish imkoniyatiga ega bo'ladi. Agar odamlar topish uchun ham qo'rqadi ekanini tushunib qachon rozi, u har doim ham yaxshi.

o'rganish asosiy muammolar

bu mavzu tushunishga asosiy muammo integratsiya va farqlash vazifalarning yomon odat. Agar noqulay bo'lgan lotin va integral deb bilsangiz, uni integratsiya va farqlash turli usullarini o'rganish, bilish uchun yana ehtimol arziydi, va faqat keyin maqolada tasvirlangan qilingan materiallar o'rganish uchun davom.

Ba'zi odamlar sifatida ilgari (maktabda), deb DX o'tkazilishi mumkin o'rganish hayron ulushi dy / dx bo'linmas, deb hisoblashmagan. Keyin siz türevinde adabiyotlarini o'qish kerak va u tenglamalarni yechishda qayta ishlanishi mumkin juda kichik miqdorda, munosabati, deb tushunaman.

Bu tez-tez bir vazifani yoki neberuschiysya ajralmas bo'lib, bu chalg'itish ularga muammo bir poda beradi - Ko'p odamlar darhol birinchi tartibini differensial tenglamalar hal ekanligini tushunib emas.

yana nima yaxshi tushunish uchun o'rganib mumkin?

Bu non-matematik mutaxassisliklari talabalari uchun matematika tahlil, masalan, maxsus darsliklar differensial hisobning dunyoga yanada chambarchas boshlash uchun eng yaxshi hisoblanadi. Keyin yana maxsus adabiyot ko'chib mumkin.

Bu differentsial tashqari, hali integral tenglamalarni bor, deb aytdi, shuning siz har doim intilishlarni narsa va nima o'rganish kerak bo'ladi.

xulosa

Biz ushbu maqolani o'qib keyin differensial tenglamalar to'g'ri, ularni hal qilish va qanday, nima, bir bor ekan, deb umid qilamiz.

Har qanday holatda ham, hayotda biz uchun foydali biron-bir tarzda matematika. Bu holda har bir kishi, qo'lida bo'lmagan sifatida mantiq va e'tibor, rivojlanadi.