Maclaurin va ba'zi vazifalar parchalanishi

ilg'or matematika o'rganish bizga bir qator yaqinlash- interval bir kuch-ket yig'indisi, marta uzluksiz va cheksiz soni tabaqalashtirilgan funksiyasi xabardor bo'lishi kerak. Savol tug'iladi: o'sha berilgan tasodifiy funksiyasi f bahslasha mumkin (x) - bir kuch qator yig'indisi hisoblanadi? Bu f-beklenmeye f (x) bir kuch qator orqali ifodalash mumkin, qanday shartlar ostida, deb? Bu masalaning muhimligini u taxminan £ sa'y f (x) bir kuch-ket birinchi bir necha shartlar yig'indisining o'rniga mumkin, deb hisoblanadi, deb bir polinom hisoblanadi. ko'phad - - Bunday o'zgartirish vazifasi juda oddiy ibora qulay va ba'zi muammolarni hal bo'ladi , matematik tahlil , ya'ni hisoblash qachon integraller hal differensial tenglamalar va boshqalar ...

Bu, isbotlangan deb yaqinida so'nggi jumladan (n + 1) -th tartibda sanab chiqing hisoblanishi mumkin bo'lib, ba'zi f-ii f (x), (α uchun - R; x ₀ + R) bir nuqta x = a adolatli formulasi:

Bu formula mashhur olim Brooke Teylor nomidagi etiladi. oldingi olingan bir qator, bir Maclaurin qator deb ataladi:

imkon beruvchi qoida Maclaurin ketma-ket kengaytirish ishlab chiqarish:

1. birinchi, ikkinchi, uchinchi, ... tartibda sanab chiqing aniqlash.
2. x = 0 da hosilalari qanday hisoblash.
3. Record Maclaurin qator Bu funktsiya uchun, so'ngra, yakınsama intervalni aniqlash uchun.
4. (; R -R), formula Maclaurin qoldiq ishtirok intervalini aniqlash

R _n (x) -> 0 n uchun -> cheksizlik. Agar bor bo'lsa, u funktsiya f (x) Maclaurin qator summasiga teng bo'lishi kerak.

Endi individual vazifalarni uchun Maclaurin qator ko'rib chiqaylik.

1. Shunday qilib, birinchi F kerak (x) = e ^x. Albatta, bu ularning xususiyatlari-Ia f k barcha teng bo'lgan buyurtmalar turli va f ^{(K) (x)} = e ^x, olingan qilgan, shuning uchun tabiiy sonlar. O'rinbosar x = 0. Biz Yuqoridagi, e ^x bir qator asosida ... f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 olish quyidagicha bo'ladi:

funktsiya f (x) = sin x 2. Maclaurin qator. Darhol, f o'zga ^(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f '(x)} = -sin x = sin (x bo'ladi, barcha noma'lum lotin uchun, bu f-yechintirib belgilash + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * K har qanday musbat tamsayı teng k / 2). Bu oddiy hisoblar qilish, deb, biz f seriyali (x) = sin x, bu kabi bo'ladi, deb xulosa qilish mumkin:

3. Endi iju f-f (x) = cos x ko'rib chiqaylik. Bu o'zboshimchalik maqsadida barcha lotin uchun noma'lum bo'lgan, va ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2, ... Yana, u, biz, f seriyali (x), bu kabi qarash qiladi cos x = deb topish ba'zi hisoblar qilgan:

Shunday qilib, biz bir Maclaurin ketma-ket kengaytirilgan mumkin bo'lgan eng muhim xususiyatlarni sanab, lekin ular ba'zi vazifalar uchun Teylor qator to'ldiradi. Endi biz ham ularni sanab beradi. Bundan tashqari, Teylor seriyali va Maclaurin qator oliy matematika qarorlari seminar qator muhim ahamiyatga ega ekanini ta'kidlash lozim. Shunday qilib, Teylor seriyali.

1. birinchi f-ii f (x) = Lev Nikolaevich (1 + x) bir qator bo'lib. Maclaurin qator umumiy shaklini foydalanib, bir qator buklangan mumkin bu biz f (x) = Lev Nikolaevich (+ x 1) avvalgi misollar, kabi. lekin bu xususiyati uchun Maclaurin ancha oson erishish mumkin. geometrik qator integratsiya, biz f (x) uchun bir qator olish = Lev Nikolaevich (1 + x) namunadagi:

2. Bu maqolada final bo'ladi, ikkinchi, f (x) = arctg x bir qator bo'ladi. oralig'ida tegishli x [-1; 1] amal ajratish mumkin:

Bu hammasi. Ushbu maqolada men ayniqsa iqtisodiy va texnik kollejlarida, oliy matematika, eng ko'p ishlatiladigan Teylor qator va Maclaurin qator so'rovda qilgan.